g(y DE310NSTRATI0 



Hinc perfpicitur, oumerum non - refiduorum interdum 

 eife, Yel£=^; vel £^, prout p fuerit numerus vel par, 

 vei impar j interdum efle etiam maiorem, nunquam vero 

 efle' minorem , omnino vti demonftratio theorematis 

 poftulat, 



T H E O R E M A. 4. 



18. Vt omnia refidua , quae ex diuifione qua- 

 dratorum per numerum quemcunque p refukare poffiint, 

 inueniantur , tantum opus eft quadrata ab vnitate vsque 

 ad terminum (^=^/, vel (4-)*, prout p fuerit vel nw- 

 merus impar, vel par, per p diuidere. 



DEMONSTRATIO. 



Ante iam demonftrauimus, omnia refidua proue* 

 nire ex diuifione horum terminorum ; 



I, 4, 9, s5, . . . . . . (p-iY 



deinde vero vidimus, feriem refiduorum hinc natoruni 

 cfle reciprocam , feu ordine rctrogrado fcriptam candeni 

 manere, Quare refidua omnia , quatenus inter fe funt 

 diuerfi, reperientur , fi huius feriei termini tantum ad 

 medietatem vsque capiantur , vnde fi p fit numerus 

 impar , ideoque p — i par , omnes numeri , qui intec 

 refidua occurrunt , prodibunt ex his tenninis: 



1, 4, 9, i^ (^^r 



Sin autem p fit numerus par , quia fuperior progrcffio, 

 habet terminum medium , qui retrogrediendo fibi ipfc 

 refpondet, refidua omnia ex his terminis orientLic 



^,+, s>, i<? (4)'« 



COROLL. 



