L E M M E. 

 §. 2. Deux nombres de la forme : 



A a -t- 2PAB4-B"- et A 2 -(- 2 QAB -f- B% 



seront toujours quarrés , lorsque 



A =z -4 (P -f- Q) et B — (P — Q)^ — 4. 



D é m o n s t'ra'ii'o n. 



Multiplions l'une de ces formes par l' autre , et nous aurons 

 le produit suivant : 



A 4 -^2(P + (2:A ? B-h2(2PQ4-l)A"-B"+2(P + Q)AB 3 4-B 4 . 

 Soit la racine de cette quantité quarrée 

 AT + (P_i_0)AB — B\ 

 et puisque le quarré est 

 ' a 4 H-2 1 P + Q)A 3 BH-[P + Q) 2 — 2]A;B"- — 2(P + Q)AB 3 + B 4 , 



en comparant cette forme avec la précédente on voit que , pour 

 que l'une soit égale à l'autre, il faut que 



((P — Q) Q — Â) A = À (P -f. O) B, 

 donc A = À [P 4- Q) et B — (P — Q) 2 — 4. 



Substituant ces valeurs dans l'une ou l'autre des deux formes 

 du lemme, elle devient un quarré. Par exemple la première, en y 

 faisant ces substitutions , deviendra : 



i 6 (P -H Q) 9 + 2 P [4 ( P + Q) (P — Qf — 1 6 (P + Q)] 

 -f- (P — Q) 4 — 8 [P — Q/ 4-16, 



où il faut remarquer que 



(P - Q) 4 + 8 P (P + Q) (P - Q) a — (P - Q) 1 f 3 P + Q) 2 , 

 4û( l M-Q)H-32 P(P+Q)-8(P-Q) — - 8(P-0,(3P-M2). 



De cette façon la forme se réduit à 



' ((P— Q) (3P + Q) — A)\ 

 Or le produit des deux formes du lemme étant un quarré et la 

 première l'étant aussi, il est clair que l'autre forme doit être né- 



