11 



tantum valores integros inquirere, hanc expressionem a fractîonibus li- 

 berari oportet, quod fît ponendo s zz: axxyy — {xx -4- yy)\ tum 

 enim fit m zz: aïxxyy — 2a(xx -J- yy) -f- 2, quae expressio ad 

 hanc formam reducitur: m ZZ2 (axx -$-. 2) (ayy — 2) -f- 2 , unde 

 fît j n _j_ 2 zz: {axx -f- 2) (uyy — 2), qxiae formula jam innumer 

 rabiles vaFores integros pro m praebet , siquidem pro a, x, y nu- 

 meri quiounque integri accipiantur. 



Ç. 3. Àt vero etiam numeri integri hinc prodire possunt, 

 etiamsi litterae a valores fracti tribuantur , quos igitur potissimum 

 hic investigare convenit. Patet aiuern hoc infinitis modis evenire 

 posse, quando x et y fuerint numeri compositi. Hune in finem sta- 

 tuamus xzrzpq et y ~ r s ; tum vero ponatur a zz: — — . Hoc 



, , ■ , ■ , (bqq + 2rr~)[h s s — ?pp) i- 



enim modo obtinebimus m -f- 2 — ' — ^* r T ^~ï UDI > 'P 1 * 



p, q et r, s sunt numeri inter se primi, alio modo ad numéros in- 

 tegros pervenire non licet , nisi prior numeratoris factor divisio- 

 nem admittat per pp , aller vero per /•/•; unde hanc expressionem 



, • , , bqq+nrr bss — ipp 



ita repraesentan oportet : m -\- 2 — L - L r-r — * — > quarum 



fractionum utraque numerus integer evadere débet. 



§. A. Incipiamus a posteriore et ponamus bss — 2pp^zicrr, 

 ita ut bss — crrzzz2pp. Statuamus porro b s s -f- c rr zz: 2 n, ut 

 fiât bss zz: n -\- pp et err zz: n — pp, ita ut sit bcrrjss zz: un — p . 

 Faciamus /; c zz: X, et quia rszziy, erit nn - — p* zz: X/yy. Similis 

 igitur pro lubitu numeris n et p, orit y y maximus factor quadratus 

 formula»' n n — p , et lhtera X exprimet reliquum factorem. 



§r\ ■ •■ »j /> • bss — * P P 

 . o. t)uia igitur Feçimus ■ *-=f zz: c , erit nunc 



.. iiCiia+icrr r i 



m h- 2 — — tTh~ • * A ' in autern err ~ n — pp, quo valore 



substituto, ob iczziX, habebimus hanc formulam satis concinnam : 

 m ± 2 zz: X -±!+^±±£Z, ex qua colligitur m — X<7 ^ 2n , ubi, quia 



2* 



