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 DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE TAYLOR. 



PAR. 



F. T. S C H U B E R T. 



Présenté à la Conférence le 18 Août 181 3. 



II y a peu de propositions , qui soient d'une si grande uti- 

 lité et dont on fasse un usage si fréquent dans toutes les branches 

 des mathématiques , que le célèbre théorème de Taylor. C esC 

 donc rendre un service à cette science y que de donner une par- 

 faite évidence à ce théorème, en le prouvant rigoureusement, sans 

 -avoir recours à la notion de l'infini, comme cela se fait ordinaire- 

 ment. Voilà ce qui m'a porté à ne pas croire tout à fait inutile 

 la nouvelle démonstration que j'ose, présenter à l'Académie dans 

 ce mémoire. 



§". 1. Soit y là valeur que prend une fonction quelconque 

 de x, algébraïque ou Ù anscendante , lorsqu'on donne à celle-ci 

 une valeur déterminée x, et A y le changement que cette fonction 

 éprouvé , lorsqu'on met x — J— A a; à la place de x ; on aura par 

 le théorème de Taylor : 



ûy -*l x _ ÈpLàx^ -Jly-Ax^. ...... -I-, £2- ^xr+CCL 



•* dx zdx^ 2 j.dxi 1- 2.-3.4.. r.dxr 



(lx étant supposée constante dans les diflérentiations successives- 



Pour^ prouver la vérité de ce théorème, nous ne supposerons, 

 autre chose, si non que l'accroissement £±y d'une fonction quelcon- 

 que de x peut toujours être développé dans une série qui ne ren- 

 fcime que des puissances entières et positives de l'accroissement Ax- 

 Eu eiièt, puisque ù.y doit nécessairement s'évanouir, croître, et de- 



