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croître , en même tems que Ax, la forme générale de chacun de 

 ses termes ne peut être que YAx, P étant une fonction de x etA.r; 

 et il est clair d'abord, que ¥ù±x ne peut renfermer de puissances de 

 Ax d'un exposant négatif, pareequ' alors Ay aurait une valeur infini- 

 ment grande dans le cas où Ax est nul, ce qui est une absurdité. 

 Il est d'ail leues aisé de voir que, si y est une fonction uniforme de 

 ce, son accroissement Ay ne peut avoir non plus qu'une seule valeur, 

 pour chaque valeur de Ax. . Mais, dans le cas même, où y aurait 

 plusieurs valeurs pour chaque valeur de x , nous ne considérons 

 ici qu'une valeur déterminée de y , c'est à dire, une seule branche 

 de la courbe ; et dans cette supposition , le changement de l'ordon- 

 née y ne peut avoir qu'une seule valeur, tant qu'on ne passe pas 

 d'une branche à l'autre. Or, tout radical ayant autant de valem*s 

 qu'il y a d'unités dans son exposant, il est clair que, dans la série 

 de Ay il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de £. x. 

 Nommant donc fx une fonction quelconque de x . on a généra- 

 lement : A . fx • — P A x -+- Q A x 2 -J- R A x- -f- cet. P y Q, R, etc. 

 étant des fonctions de x. (*) 



§. 2. Substituant dans cette équation , d'abord y , ensuite 

 P, Q, R, etc. ou ¥ ly P 3 , F 3 , etc. au lieu de fx, on aura les sé- 

 ries suivantes : 



(A) ùy - P,AaM- P fl A«^i-J? s À«*-fr H-P r Aaî r -+P r+1 Aa? r + I -»-cet. 



AP, - J /) l Ax- J r- , p z ùx 2 -i- 1 p 3 Ax' i -+- +'/) r Aa' r + cet. 



AB 2 ~ ''p 1 Ax~<r- : 'p 2 Ax?-+-' 2 p 3 &x' i -+- -h *p r & x r -ï- cet. 



AP^Pt Ax^-^p 2 Ax 2 -^3p 3 Ax3-^ +3p r Ax r -+- cet. 



AP r = r p , Ax+ r p 2 Ax 2 h-7> 3 Axi + _+_ r Pr A x T_^ cet . 



OÙ l' on voit que le nombre qui se trouve à droite du pied de 

 chaque lettre P ou p , se rapporte à la puissance de Ax dont 



(*) Voy. Théorie dts fond. anal, par Lagrangc t pag. 7. suiv. 



