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elle est le coefficient , au lieu que le nombre qui se trouve en 

 haut et à gauche de chaque lettre p , désigne le coefficient P de 

 la série Ay, à la différence duquel la fonction p appartient comme 

 coefficient, de sorte que r p n est la fonction de x, qui est le coef- 

 ficient de &x n dans la différence de P r ou du coefficient de Ax r 

 dans la série Ay. Cette manière de marquer les coé'fficiens, nous, 

 sera très - utile dans la démonstration que nous allons donner. Au 

 reste, on voit que AyzzzP 1 Ax -f- cet. a la même forme que la 

 série de T.aylor, de sorte qu'il ne reste à prouver, si non que les 

 coé'fficiens sont aussi les mêmes , savoir P! m r-, et en général. 



P. r± 



F y 



j . 4. . . . r . d ** 



§. 3. Soit 1/ la valeur de y, y" celle de y', lorsqu'on sub- 

 stitue dans l'une et l'autre x-+-Àx à la place de x, de sorte que 



tf == y 4- &y, et y" ~ y' -\- Ay' - y -f- 2 Ay -+- A» y, 



Ou y /y — y z=z 2 Ay -f- AAy. 



Or s y // est la valeur que y a prise, après qu'on a substitué deux 

 fois x \-Ax au lieu de x, ou après qu'on a ajouté deux fois . x 

 à x : donc, y se transforme en y", quand on met x-^-2 A& à 

 la place de x. Nommant donc A 2 y la valeur de A y , lorsque 

 dans celle - ci 2 A x est substitué au lieu de A x , on a 

 y'' — yznA 2 y, ce qui étant comparé à l'équation 

 y / — y 'ZH 2 Ay ~\~ AAy, donne 

 (B) — A 2 y — 2 A ij — A A y. 



Or , on a A A y zn A (A y) , A x étant supposée constante , ce 

 qui donne , en prenant les différences de (A) (§. 2.). 



AA.ymAP, Ax ■ AP 2 A.r 2 -t-AP 3 Ax* + -+-AP r A.r r -i-cet.=: 



> Pl Ax 2 -f- '/? a A^ + . . . . -4-'/vA.r T - + -' 4-cet. <^- i p l b£3~$-*p a Lab* 

 -\- .... -\-*p r Ax r +*-\- cet. 

 -+- -+- r -'r A A.r r -H r - , p 2 Ax r - , - 1 -+-cet. T4r>,Àa^ l -+-*/> a A?rK+ cet. 



Puis, substituant 2 A x au lieu de Ax en (A), on trouve 

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