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(1 + i r = i- K H-^--^- ) +- ^^-lO-t-r-f.,, et 



d'où l'on tire 



(1-M) r+I — 2 = (r-t-l)(i -4-r-+- r fc^^-....^-r_ f -i) r: (r-^l)S, et 



2 ■ 



(l4 _ 1) r_ 2=?4 _!^^ + .... H _!l^l)- + ' î ^ : T 



ou 



(/•-}- 1) S — 2 r +' — 2, et T =r 2 r 2. 



§. 12. Repi'enons maintenant les coë'fficiens généraux de l'équa- 

 tion (C) (§. 3.), dont le (r-h l)me, y ayant substitué (D)(§. 10.), nous 

 donne (§.4. (/-h- 1)), P r+ ,— - J^-[l_ 2 , et la différentiation du (/-) mf , 



(»r — a) 3 P r 



après y avoir substitué (E) ( §. 10.), r /J, 1 — ^ \, ou 



-^-'r^ §rz~ • ^i", nous venons de trouver (§• 1 !•) que 2 r-n_ 9 — f^7 » 

 et ar 2 m 1 ; donc P r + x — - ^ et ^j — 'Tiî par conséquent 



p __ dP r 



■fr+i 



(r -)- i ) d x ' 



\. 13. La différentielle de l'équation (I) (§. 9.) étant 

 r — 2 ^-rTxrr , on a enfin 



"r-i-i 2 . 3 . 4 . . . r .(r-t-ijdx'"-*- 1 ' 



ce qu'il fallait démontrer. Nous avons donc prouvé que, si le théo- 

 rème de Taylor est vrai jusqu'au (r)me terme, il s'en suit qu'il 

 a aussi lieu dans le terme suivant (r'+ 1). Or, comme nous avons 

 prouve ce théorème pour les cas particuliers r~ 1, r~2, r~ 3,/— 4, 

 il a aussi lieu pour le cas r = 5 ; d'où l'on tire la même consé- 

 quence pour le cas r =± 6 , et par la même raison pour tous les 

 nombres suivans, r=z7, r^8, etc. à l'infini, pareeque ce raison- 

 nement a' toujours lieu deri/+'li Le théorème de Taylor est 

 donc vrai dans toute son étendue jusqu'au dernier terme ; c'est à 

 dire que, lui donnant la forme 



Ay— P,Aa; + P 2 Ax 2 + P 3 Ax 3 -f- -+-? r Az r , 



