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évènemens militaires de 18 12 et de 18 13 ont empêché ce 

 mémoire de parvenir à sa destination ; c'est pourquoi je le 

 présente à l'Académie , pour qu'elle en fasse l'usage qu'elle jugera 

 - convenable. 



RECHERCHES 



SUR LA SÉRIE NUMERIQUE 



_î_ _i_ _L_ -1 ! I L_ _j ! i_ etc 



1.3 ' 5-7 ' 9- i» 13-i.î ' «7-19 ' 



§. 2, La marche la plus naturelle, et qui facilite le plus 

 ces sortes de recherches, étant de les commencer par un cas spé- 

 ciel , je me suis attaché d'abord à traiter la série numérique du 

 programme. J'en indique la somme cherchée par s, desorte que 



Je décompose cette série en deux autres 



t— i-f-î4-5-L.J-_f-J- + etc. 



dont la différence sera 



1 -3 ' 5- 7 ' 9- •« ' 13. 15 ' ' 



desorte que 5 ~ 



1 



§. 3. Maintenant je considère la fraction ^ — ~a , laquelle, 

 transformée en série, devient : 



- — -^ m 1 -f~ a; 4 -f- a: 8 -|- a? 12 -(— a? 1 -f~ etc - 

 ce qui, multiplié par la différentielle 3 x, nous donne: 



7=733 =3 *-4f* 4 9* -h»* a^-1-.r 12 3a? -f- etc. , 

 et en prenant les intégrales, nous aurons : 



Observons qu'ici tous les termes évanouissent en mettant x ~ 0; 

 c'est pourquoi , si nous mettons x ~ 1 , l'intégrale prise entre ces 

 deux termes d'intégration sera : 



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