2 58 



venable , donne ainsi que le cône , toutes les courbes du second 

 degré- 



Pour rendre notre démonstration plus facile , et montrer en 1 

 même temps la liaison qui existe entre les courbes données par 

 une même sectiun dans le cône et l'hyperboloïde de révolution, 

 Tab. 3. nous mènerons par l'origine A (Fig. 2.), une droite AB qui fasse 

 ,g - ' avec l'axe des x un angle égal à celui que forme la génératrice 

 de l'hyperboloïde avec le plan des xy. Cette droite en : tournant 

 autour de l'axe des z sans changer d'inclinaison, engendrera un 

 cône droit dont le sommet sera l'origine A, et dont la projection 

 sur le plan des xz rabattu sur celui des xy, sera représentée par 

 DAB. L'équation de cette surface conique sera évidemment : 



2' 2' 2 11 2 2 ; 



z -— m x -(- m y .. 



Pour remplir le but que nous nous proposons, nous devrions 

 prendre l'équation générale d'un plan quelconque P ,- 



z — Ai -f- By -f- C ,- 



et combinant cette équation' avec celles du cône et de l'hyperbo- 

 loïde, faire voir que' les' équations résultantes de cette combinaison 

 donnent des courbes du second degré dépendantes de la relation 

 qui existe entre les coefficients A, B et C. Mais nous pouvons 

 simplifier de beaucoup les calculs, en prenant pour axe des y par 

 exemple, une parallèle à la trace du plan P sur le plan des xy. 

 Cette transformation dans les coordonnées ne changera rien aux 

 équations du cône et de l'hyperboloïde ; elle réduira seulement l'é- 

 quation du plan sécant à z ~'Aa;+ C , et les considérations re- 

 latives aux sections dans les deux surfaces , n'en seront pas moins 

 générales. 



Tous les cas à examiner nous seront donnés' en faisant suc- 

 cessivement les hypothèses- suivantes : A^O; A < m ; A zzzm; 

 A\ > m. 



