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Au moyen de ces sept équations, on éliminera aisément les 

 coordonnées des points de contact, et l'on parviendra à un résul- 

 tat qui étant indépendant de x' y', x'\ y /y , m et n, appartiendra 

 à la ligne, lieu de toutes les intersections E. 



Mais la forme des équations (f). (2). (S), est telle que les. 

 cinq dernières suffisent pour éliminer toutes les quantités qui dé- 

 pendent de la- considération particulière de la ligné liE. En eflet 

 on déduit des équations (3) : 



m (a/' — X) -f- n y'' — , 



m (x" — ^) -f- n^'—tf) == T 



et «-- £ —_y^=2L. 



el n x"-^X x"—x'- 



•r les équations (2) donnent : 



Ax (x" — x') -f- By (y' — tf) — ; donc 



y — y ax 



a" — x' B y 



A X y" 



et par conséquent ; g- m — gV _ • 



De la on tire: AXxr: A.rar' / -|- Bz/j/^, qui en vertu des équa- 

 tions (2) se réduit à AX.r rz: 1 (4). Cette dernière" équation nous 

 apprend que le lieu de toutes les intersections E des tangentes que 

 l'on considère, est une droite perpendiculaire au grand axe, et si- 

 tuée à une distance ^ du centre de la courbe. 



, Celte même équation (4) fait voir encore 1°. que le demi- 

 grand axe est toujours moyenne proportionnelle entre l'abscisse CA 

 du point donné et 1' abscisse CH du pied de la perpendiculaire, 

 lieu de toutes les intersections E: 2°. que cette dernière abscisse 

 CH est celle du point où la tangente menée par l'extrémité de AI 

 perpendiculaire à CG , rencontre la direction du grand axe. En 

 effet X et Y étant les coordonnées du point I, on a pour l'équa- 

 tion de cette tangente : 



AXa; -j- BYy in i, qui se réduit à AXa;— 1, 

 lorsqu'on y fait y ZZ Q» 



