Nota del Plana i83 



serie convergente 



1 1 a', a^ ,, a" ,^ 



in cui 1 coefficienti Y, , Y, , Y3 , ec. hanno un valore 

 sempre compreso fra — 1 e 4- 1 , e sono conosciuti 

 sotto varie forme. Ma in mezzo alle espressioni di Y„, 

 una delle più utili è quella che dà questo coefficiente 

 per un polinomio della forma 



4) Y„=Ao-*-AiC0s(9— e')-l-A;,cos(2$--2e')....-HA„cos(n9— n9') , 



nel quale i coefficienti Ao , Aj , A2 , A« sono 



funzioni dei due angoli co e 9. 



Siccome il numero dei termini di questo polinomio 

 aumenta coll'indice n , si cercò, se, lasciando indicate 

 e non eseguite certe operazioni di calcolo , era possi- 

 bile di esprimere Y,i in una maniera concisa per qual- 

 sivoglia valore del numero n. Considerata la questione 

 sotto questo punto di vista, Ivory trovò che, fatto 



p = COS0 , 



si ha 



1 d."(/)2 — 1)" 



(5) Y„ 



2"(1.2.3....«) dp'^ 



(Vedi p. 93 del volume delle Transazioni filosofiche di 

 Londra per l'anno 1824). Si conoscono varie dimostra- 

 zioni di questa formola; ma eccone una che parmi nuo- 

 va ed assai semplice. Innanzi tutto osservo che , me- 

 1 diantc l'applicazione della formola del binomio, si ha 



1 ,.^ ,r 1.3.5...2«— 1 1.3.5...2rt— 3 /)"-' 



I (6) Y,,= p"- 



: ^ ' 1.2.3... »f ' 1.2.3 ....«—2 2 



1.3.5...2n— 5 p«-4 i.3.5...2«— 7 /)"-& 



1.2.3 n— 4 2.4 1.2.3 ??— 6 2.4.6 



ec 



