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ne. Resta pertanto il solo primo termine «= ~ — ^, 



il quale evidentemente converge verso 2, mentre 

 z"- = (1 — g)" converge verso l'unità. E di qui discen- 

 de l'equazione 



(2n4-1)/ '(X„)^dx=2, 



che si voleva dimostrare. 



La funzione Y„ , quale è data dalla forraola (D) , 

 soddisfa, siccome è noto, all'equazione di Laplace 



("-""'•Sr), . d^Y,, 



<" ' ) d7-^+ TT^ -a5-+«(«+' ) Y«=» ■ 



Ma, più generalmente, vi soddisfa il polinomio simile 



(42) Y„ = AP'„ -f (A'cos5 -f B'sen^) sen^o ?^ 



dp ^ 



(J2p' 



+ (A"cos29 -4- B"sen29)sen29 —^ 



-\- ec. 



il quale contiene 2«-|-1 coefficienti arbitrari A, A', A", ec. 

 Il prodotto di due funzioni di questa specie, d' in- 

 dice diverso , cioè Tn , Z,„ , essendo moltiplicato per 

 senip d(pà9 j e poscia integrato fra i limiti 

 y = o , 9 = ;r , = 0, 9 -~2tc, dà l'equazione 



(43) f" p'^Yn^m sen^dyde =.- o , 



siccome ciò si dimostra adoperando l'equazione (41), ed 

 applicandovi il principio dell'integrazione per parti in 



