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punti arbitrari A, B, C, ... correlativi coefficien- 

 ti a, /3, 7, ... , esiste un altro punto determinato 

 S, tale che, tirati i raggi a, b , e , ... s da un 

 punto P qualunque a tutti gli altri punti, si ha 

 sempre 



21. «0=» -f- /332 H- 7c' 4-...= (a -H j3 -H V H-...)s=' -f- K, 



ove K designa una quantità costante, ma dipen- 

 dente dagli elementi dati. 



La dimostrazione di questo teorema è analoga a 

 quella del teorema corrispondente del §. Ili : perchè 

 riposa sopra un'applicazione replicata del teorema pre- 

 cedente (§. X.). Infatti, dati che siano dapprima tre 

 punti soli A, B, C, si ha, rispetto ai punii A e B: 

 aa^ H- j3i- = (« 4- /3) m* M- (a -f- /3) a^ bi = (a-f- ^) m» 

 -t- («H-/3) AM. BM, e poi, riguardo ai punti M e C, 

 ai quali si riferiscono i coefficienti ( « -f- /3) e y : 



(«4-/3) m='H- yc* = (« h- /S-t-y) n^ -+- (a-f-/3-|- 7) MN.CN; 



donde, combinando le due equazioni, si ricava : 



«a'H-/S&='-H7u=*=(«-i-/3-j-7)n^-ì-(«-f-^+7).MN.CN+(«-t-/3)AM.B:; 



il che si accorda col teorema, essendo costanti i due 

 ultimi termini alla destra. E da notarsi che il pun- 

 to M giace sulla retta MG e la divide ne'segmenti, 

 MN e CN, proporzionali alle quantità y ed (qj-j-^), 

 precisamente come nel §. Ili; n è il raggio che uni' 

 sce ]S col punto arbitrario P, 



In simil guisa si giunge alla dimostrazione del teo- 

 rema per quattro, cinque, .... n punti. 



