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spazio finito. E del quarto grado, ed ha in P un punto 

 singolare, il quale è un punto doppio , ideale (a), 

 o immaginai'io (/S), secondochè P è situato fuòri o 

 dentro del circolo (V); ed è un punto (y) di regresso, 

 se P cade sulla circonferenza (V). Nel caso («) la 

 curva s'incrocia in P, e le due tangenti condotte da 

 P al circolo (V), sono le normali della curva V nel 

 punto P, e però determinano l'angolo, onde la curva 

 s'incrocia in P. Se è s^=2r^, quest' angolo è retto. 

 Inoltre la curva forma due foglie o cappi, tali, che 

 si conta due volle lo spazio chiuso dal cappio pivi 

 piccolo. Se è ^2=2r^, 1' area della curva è =27rr'. 

 Rispetto a lutti e tre i casi , le diverse curve 

 V, come si proverà plìi sotto (§. XXXVI), sono iden- 

 tiche colle diverse epicicloidi, generate da un circolo 

 del raggio ^/', ruotante sopra un altro circolo uguale. 

 Nel caso particolare (y), ove P giace sulla circonfe- 

 renza; ossia, ove j' = r, la curva V è la così detta 

 Cardoidcy e l'area di essa è : 



cioè = una volta e mezzo il dato circolo (^), ov- 

 vero, = sei volte il circolo del raggio ^r; il che s'ac- 

 corda con la nota espressione, relativa alla cardoide. 

 Ciascuno de' due spazi lunati, che, in questo caso , 



si stendono fra i contorni di (V) e V, è = —nf'^t 



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 cioè un quarto dell' area circolare (V). Similmente 

 nel caso (/3) occorrono fra (V) e V due spazi lunati, 



ciascuno de' quali è =s -^ 



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