ReTTIF. di ALGUiNfE CURVE PIANE 2o3 



sostituzione di a = t. Il quadrante della curva si 

 ottiene prendendo l'integrale entro i limiti 9 = 0, 

 ? == é^ 5 nel qual caso le funzioni ellittiche di se- 

 conda, e terza specie saranno complete, ed avremo 

 semplicemente 



S = 2a E(^) - aU ("^-^ , k\ 



La funzione ellittica di terza specie si potrà anche 

 ridurre per le note formolo di Legendre a funzioni 

 ellittiche di prima e seconda specie. 



6. Occupiamoci ora sull' equazione della curva 

 fra le coordinate ortogonali. Questa equazione si po- 

 trà ottenere o dalle formole del parag. 3, o da quel- 

 le del 4 coU'eliminare il raggio r, od il raggio p ; 

 ma sarà più facile l'uso delle prime, le quali sono 



X 



(a* -h ò'^y^ — a=*Ì2 



ove come è noto 



R2 = X^ + Y^ 



E evidente che l'eliminazione della r dipenderà dalla 

 risoluzione di un'equazione di terzo grado rapporto 

 ad r^* , come si scorge dal valore di R"* ; ma senza 

 fare questa risoluzione , procederemo nel modo se- 

 guente. Elevando la prima espressione al quadrato, 



