Dimostrazioni geometriche ec. 120 



Un punto M, corrente sopra una superficie qua- 

 lunque S, si consideri come la intersezione di tre su- 

 perficie ortogonali A, B, C di un dato sistema, ed in 

 questo siano «^ , s^ , 5^ le linee d' intersezione di B 

 con C, di C con A, e di A con B. Sia ds un arco in- 

 finitesimo MM' della superficie S, il quale cada colle 

 proiezioni 



ds, , ds, , dsj 



sulle direzioni ortogonali, che in M hanno le tre li- 

 nee d'intersezione Sr , S2 , «3 : sarà 



ds^ = dsi^ -+- dò2^ -H ds3'. 



L' equazione w == , fra le coordinate relative ad 

 A , B , C , rappresenti la superficie S. Si differenzi 

 quest'equazione rispetto alle tre coordinate, e quindi 

 si modifichi in modo che prenda la forma 



(m) n,d5, H- n2dA-2 H- ITsdi's = , 



la quale si ottiene, in generale, sostituendo ai diffe- 

 renziali delle suddette coordinate i loro valori espressi 

 per dsi , ds2, dsz . Sia II la retta, che cade colle pro- 

 iezioni 



sopra tre assi rettangolari, tangenti in M delle linee 

 5, , «3 , 5{ : la retta II sarà normale alla superficie S 

 nel punto M, essendo, in virtù della (u) , normale 

 all'arco ds in ogni sua direzione sopra la superficie S. 

 Quindi dal teorema, che le rette parallele sono pro- 

 porzionali alle loro proiezioni omologhe, si avrà 



1 COS-IIs, COSlISa COSnA-3 



n n, li;, n3 



G.A.T.CVI. 9 



