Dimostrazioni GEOMETRICHE EC. 135 



angolo ; il piano condotto per OM perpendicolar- 

 mente al piano precedente (z, OM), e declinante dal 

 piano fìsso {xxj) coll'angolo ®; finalmente la sfera del 

 centro e raggio variabile OM. Le coordinate chiamate 

 sferiche^sono dunque le variabili 5, 9, r. Ciascuno de' 

 tre elementi ds, , ds^ , ds^ , relativi alle linee secon- 

 do cui si segano in M i piani A, B, e la sfera C, sa- 

 rà evidentemente ciò che diviene l'espressione 



ds = \/'(dx^ -j- d(/2 ^_ d32) , 



quando si prendono i differenziali di a?, y, z, riguar- 

 dando come solamente variabile dapprima ^, poi © , 

 e quindi r. Si trova subito in corrispondenza 



ds, = rcosipd^ 

 d.*2 = rd(p 

 ^ ds3 = dr , 



risultati che si hanno pure dalla intuizione immediata 

 della figura. 



Ciò posto, l'equazione u=0 della superficie S, 

 sia tra le coordinate sferiche ^, <p, r: differenziandola 

 otterremo 



du dw , du , 



Te^^'^d^^^'^'d-r^'''-^'^ 



la quale, moltiplicata per rcos^, diventa 



du ^ du . du 



d(p 



("') ^ ds,-+- ^ cos^.dsa -+■ J- rcos(p.d*3 — . 



