Dimostrazioni geometriche ec. 163 



2." D, D' siano due semidiametri coniugati della 

 sezione (2), il primo de' quali suppongasi parallelo 

 alla direzione MM'= ds, che ha in M una linva geo- 

 desica^ e declini coll'angolo ì da D^ ; sarà 



essendo o il raggio di curvatura di tal linea. 



Sia n la perpendicolare calata dall'estremità di D' 

 sul semidiametro coniugato D: avremo dai teoremi 

 cogniti, relativi alle coniche ed ai paraboloidi, 



D1D2 = Dn , D.D.P -= DHP = V , 



ove V designa un volume che si conserva costante 

 per ogni punto M della superfìcie (E). 



Consideriamo una linea geodesica o di curvatura: 

 si avrà per ogni punto M del suo corso 



DP = costante , 

 e quindi 



D,^ cosH -h D^^serr^i ^ "^^ = "^ =J - V= costante . 



Questi teoremi sono al paraboloide ciò che i teo- 

 remi di Ioachimsthal e di Liouville sono all'ellissoi- 

 de : gli uni e gli altri conseguenze immediate e spon- 

 tanee delle formule generali, trovate dal sig. Ioachim- 

 sthal (Cielle, tom. 20). Erano principalmente queste 

 formule generali che io, nella memoria Sw/te cwwa- 

 tura delle linee e delle superficie^ mi proponeva di 

 dimostrare, valendomi, il più possibile , di conside- 

 razioni geometriche. 



