Funzioni ellittiche 261 



(l'onde 



r* = n' 4- ri» 



e perciò il quadrato del raggio vettore di una lemni- 

 scata si esprimerà per la somma dei quadrati dei due 

 raggi vettori di una lemniscata equilatera: infine se 

 si elimini la r nei valori delle x^ ed j', si avranno 

 le due equazioni 



ais=cosM 1/ «^003*1^ — 5'sen'w, y=senM 1/ a'cos='M— i^ senj|^ 



le quali rappresentano egualmente la natura della no- 

 nostra curva. 



3." Chiamando ^ l'arco compreso fra un punto 

 fisso, ed il punto ( r, m), si avrà per il suo diffe- 

 renziale in coordinate polari 



ds= 1/ dr» -f- r'du= 



Differenziando il valore di r* espresso dall'angolo u^ 

 e dalle costanti a, ò, abbiamo 



(a^ 4- 52) sen 2m dw 

 rdr = — -i 



Per rendere più semplici le operazioni analillcbe eli- 

 miniamo l'angolo Ui per cui avremo primieramente 



2r2 — (a=» — 52) 

 cos 2w =5 i ■ 



ed insieme 



sen 2m =a— L-1 '-i — ' 



