264 Scienze 



4.° Per far vedere ora come l'arco s della le- 

 mniscata dipenda dalle funzioni ellittiche, pongasi 

 n'}i ■ 



tang 9 = 7 col w 



d'onde 



(«2 -I- g2) cos'M ^2 sen'^d) 



sen> o = ■ ■, cos2ffi)r= ; . 



, i(a* H- 5*pdM 



dffl = ; • 



dalle quali 



Ì2(a» -{- 5^ — i^sen'cj) 



o' — (a* — ^2) sen*9 = 

 a* -1- è» — «'sen'f 



(j3 ^ ^2 — a^sen^a 



«a 4-^2 — ^2 sen^M 



Facendo questa sostituzione nella espressione di d^, 

 si ricaverà 



, , l/^«' ■+* ^* — *^ sen'di 

 ds = i^ dcy ; 



«a ^ 52 _ QjZ sena(i> 



ove ponendo i valori di k, e ^'j verrà 



ìA da l/"(1 — A;2 sen'w) 

 (1 — &'a sen*w) 



o ciò che torna lo stesso 



- hli{\ — k^ sen'w) dn) 



d5 «=■ — i . 



l 



