Funzioni ellittiche 267 



Ciò poslo un'arco indefinito della lemniscata si po- 

 trà evidentemente esprimere per 



s = bk ('1f(/c, «) H- ll^n (- ^'S /CO))) 



Fra le quantità k, k\ a, b sussistono egualmente le 

 relazioni 



per cui si avrà ancora 



(b^ a^ — b'^ . \ 



— F(A, «)H — n(— A'SA,(V))) 



La costante arbitraria non ha luogo mentre l'arco s 

 svanisce per cj = o. Che se pongasi w = — risul- 

 terà per il quadrante della lemniscata 



/A2 «2 _ A2 V 



s = bk[~F{k)-i -_-n(-.A'sA)) 



e per conseguenza la rettificazione di questa curva 

 dipende dalle funzioni ellittiche complete di prima, 

 e di terza specie : il parametro negativo di questa 

 funzione ellìttica si dice, per far uso delle parole di 

 Legendre, parametro circolare^ e trovasi compreso 

 fra la potenza seconda del modulo presa con il se- 

 gno — , e — I : avvertendo poi che una funzione 

 ellittica di prima specie rappresenta gli archi dell'El- 

 lissi Cassiniana, né verrà che una funzione ellittica 



