QJ2 Scienze 



Queste curve si riducono ambedue alla lemniscata 

 equilatera per la supposizione di a = b. 



6.° L'intero perìmetro della lemniscata si può 

 anche esprimere per sole funzioni ellittiche di prima, 

 e seconda specie incomplete, e complete: ciò che noi 

 verremo brevemente ad indicare. Legendre nel primo 

 e terzo volume del suo trattato delle funzioni ellit- 

 tiche ha dato differenti formole con le quali si es- 

 primono le funzioni ellittiche di terza specie incom- 

 plete, e complete; cosi se per due parametri circo- 

 lari Ut n\ sia 



« =j — 1 H- A'a sen»0 , w'= — \ -^k^ sen^ cj 



ed insieme per brevità pongasi 



$(w, e)=F(A, &)) E(r, 5}+F{r, 0) E{k, &))-F(^, co) F{k\ B) 



avremo (*). 



k'' sen CCS / ^ , ^ _, , \ 



A(A, o) \ / 



= are. tang i~ '-—r') — $ («, 0) 



^ cot dì cot y f 



Per mezzo di questa formola si potranno ridurre l'una 

 all' altra le due funzioni ellittiche di terza specie , 

 col cangiare fra di loro le ampiezze w, 0, purché si 



(*) Legendre fonctions elliptiquea, tom. 3, pag. i44' 



