== (48) 



Demonftratio. 



Omnes numeri per propofimm primiim P non diui* 

 Hbiles in aliqua harum formularum continentur: X P -+- i , 



XP-l-2, XP^;-3, XP^b^' XP-f-O), 



in quarum vltima efl: w zz 1 (P — i), quarum ergo formula- 

 rum numerus eft 5 (P — i). lam Yero , fi quadrata cuiusque 

 harum formularum, veluti (X P -h ^)% per numerum P diui- 

 dantur, idem remanebit refiduum, quod ex quadrato aa re- 

 fultat, vnde cum a non fuperet numerum w — | (P — i) ; 

 manifeftum eft,. numerum refiduorum, quae ex diuifione qua- 

 dratorum per numerum primum P oriri poflunt, maiorem efie 

 non poffe quam i(P — i). Haecque omnia refidua nascuntur 



ex quadratis i, 4, 9, 16, . ww, exfiftente u — 



^■•(P-ii), quae , quamdiu funt minora quam P, ipfi erunt re- 

 lidua; fui autem fuerint maiora, per diuifionem infra P de- 

 primi poffunt, ita vt omnia miinora euadant quam P , vti ex 

 natura diuifionis eft manifeftum. Supereft igitur vt demon- 

 ftretur, numerum horum refiduorum minorem effe non poffe 

 quam r(P — i), id quod inde patebit, fi oftenderimus, om.- 

 nia quadrata non maiora quam 01 co , diuerfa producere refi- 

 dliaii Hunc in finem fint a a et b b duo huiusmodi quadrata, 

 qiiae fi per P diuifa idem praeberent refiduum!, eorum diffe- 

 rentia bb — aa foret per P diuifibilis ,• quia igitur P eft nu- 

 merus primus, vel b-\-a \t\ b — a deberet efe dinifibile per 

 P, quia vero tam a quam b non fuperant w — ' (P — ^)j 

 manifeftum eft, tam b -^ a quam b — a numeros ipfo P mi- 

 nores effe , ideoque certe per P diuidi non poffe; vnde eui- 

 dens eft numerum refiduorum diuerforum ctiam minorem non 

 effe quam |(P — i). Sicque demonftratum eft, numerum 

 omnium refiduorum diuerforum elTe — j(P.— ^i). 



;■* "• Corol- 



