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b -h - , et continuant toujours cette substitution , on troué 

 vera successivement les expressions: 



y 6 4-1 6 -f- 1 à-l-i 



Or l'équation /rzbn-^, réduite et résolue, nous donne: 

 ^r:i-+/(— -f-i), ou, rejettant le signe — , puisque 

 nous ne considérerons ici que des termes positifs , 

 jz:z^-4-/(^-M), et l:z.-^ + >/(^+l). La va- 

 leur j/A zn a-i- ^^^f^_ = « 4- ^ se cJiange donc en : 



/A = a-}-|-î/('-Vi). 

 Mais on suppose que A est un nombre entier non-quarré, 

 par conséquent sa racine quarrée est irrationelle , donc le 

 terme y( — [- i) est irrationel, et doit nécessairement dis- 

 paroître dans l'expresîion: 



c* est-a-dire : a sera rz: o, «t bnzsa; donc 



A HZ - -I- 1 nr a^ H- 1 , et 

 i/A-/(a^H-0=a + ^_^_^ 



aa -f- I 



io -h ffe> 



De la nous concluons : 



l) Parmi les nombres entiers il n'y a que ceux de 

 la forme «" + i , dont les racines quarrées se trouvent 



Mémoires de rAcad. T. //. •* 3 



