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Ôr à cause de dz:=i:mdy -]-ndx, nous aurons 



fiy-\-2.mdzy i dy^-i- îmdy dz-^m-dz^ \ dy^-\-2m''dy'^-h2n'mdxdy-i-m^dz'\ 



^ (d.x-hndzyiz=.+dx'-i-2ndxiz-hn'dz^i :z:-hdx'^-\-2n^dx^^2mn.dxdy-^n'^dz^ > 

 -f-(ni> — mdx)^i -+- n^dy' — znmdxdy-hm^dx'''' -+- ■nP-dy'^ — 2m.n. dx dy -{-m?- d x'^ ) 



:= ( i + m- -h n^) dy"- --j- ( i H- m^ -\- ii") d x^ -|- m^ dy^ -h «' d x«= 

 -)- 2 m n d X dy -\- m^ d z^ -f- n^ d z^ 

 zzi (i-f-m^-+-n^)£//^ + (n-m^'-^-zi^^) dx^* -f- ( i -t- w^ -t- ?i*) cî z* 



— (i+m*4-?î=) (rf X* + d/^ -I- d x^ )n:(i -h 'w^ -+-«') ds''; 

 {dy-ryYid'L-\-n {ndy — mdx)y zzz (dy-\-m^dy-]-mndx 

 -^n^ dy — mn d xy =: {i -\- m^ -h ti-y d y^ ; 



{dx -\~ ndz-i-m(}ndx—ndy)Yz=:(dx-hnmdy-i~n*dX'i'm'^dx 



— mndyY zz:(i -{-m" ~\-'n''y dx'. Ainsi 



R = 



— (,-4-n^-4-n^)'(i -i-m--hn^)ds 



2 



€t par conséquent 



pdy'^ -i~ 2q dx dy-^rdx^ ' 



Mais comme les équations dm:=zpdy-\-qdx et 

 dn m qdy -^ rdx donnent dm dy ■=. pdy^ H- qdxdy et 

 dndxzzi qdxdy -j-rdx' , nous aurons pdy' -\- 2qdxdy 

 -{-rdx^ zz: dmdy ~\- dndx, et par conséquent 



■n — ( i-f-wt' -h n^)gds^ — (, -f-m^-f- n2)î^dja 



parce que l'équation dzzrzmdy ~\- ndx donne 

 d'^z = dm rf/ -f- rfn dx 4- md^/ -h /irf^x. 

 Soit le différentiel ds constant; leqnation dx^'-f-d/* 

 ^-d%^ ^=zds' donne dx d'x + d/ d*/ -f- dz d^ï :i:z o, et 



7 d^y 1 d^x 7 , *i 



ensuite dzz^ — d^^X — d^ ^-^ • 



