Alcuni teoremi del Gauss 269 



ed un circolo del raggio ==» 1 , situato nello stesso 

 piano. Pel centro O di questo circolo si conducano 

 due raggi Oa, 06 paralleli rispettivamente alle tan- 

 genti che toccano la curva AB ne' punti iniziale A 

 e finale B : l'angolo a 6 , misurato dall' arco ab , 

 sarà la curvatura totale dell'arco AB. 



Dimostrazione. Immaginiamo un raggio Ow» che 

 si muova parallelamente alle direzioni consecutive 

 che prende il corso M della curva AB considerata 

 come una linea poligona infinitesimale : tale raggio 

 partirà dalla posizione iniziale Oa e si fermerà nella 

 posizione finale 06, e però l'angolo a06 rappresen- 

 terà la somma di tutte le declinazioni consecutive 

 della curva AB. 



Così, la curvatura totale di una curva AB è 

 uguale aWangolo., onde la tangente nel punto finale 

 della curva., declina dalla tangente nel punto iniziale. 



Per conduciamo un nuovo raggio Om' perpen- 

 dicolare al raggio mobile Om: il raggio Om' sarà pa- 

 rallelo alla normale in M della curva AB. Quando il 

 raggio Ohi prende le posizioni Oa, 06, il raggio Om' 

 prenda le posizioni Oa , 06 : è facile a vedere che 

 l'angolo a 6' è uguale all'angolo a 6. Da ciò si 

 ricava che la curvatura totale della curva AB è pure 

 uguale all'angolo., onde la normale della curva nel 

 punto finale., declina dalla normale nel punto iniziale. 



Sia s un arco circolare del raggio r a cui ri- 

 sponda l'angolo centrale ^; sarà la curvatura dell* 

 arco 5, e si ha dalla geometria s=^rO ., ed in con- 

 seguenza 



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