Alcuni teoremi del Gauss 271 



faccia all'altra girando sempre in un medesimo verso 

 intorno all'angolo solido, si devono riguardare come 

 negativi i diedri che si aprono in senso contrario. 



Teorema. Il valore C della curvatura della su- 

 perficie di un angolo solido è uguale al valore (^n) 

 di quattro angoli retti, meno il valore Q. dell' am- 

 piezza dell'angolo solido: cioè Q = 2n — ù. 



Dimostrazione. Per dimostrare questo teorema 

 cognito , si supponga che l' angolo solido tenga il 

 vertice nel centro di una sfera del raggio == 1: esso 

 abbraccerà sulla sfera un poligono sferico. Questo 

 poligono sferico rappresenta compiutamente l'angolo 

 solido: colla superficie ne rappresenta l'ampiezza, 

 coi lati le facce, e con la declinazione de'lati la de- 

 chnazione delle facce : vale a dire , i numeri che 

 esprimono le misure di tutti gli elementi del poli- 

 gono sferico esprimono anche le misure di tutti gli 

 elementi corrispondenti dell'angolo sohdo, purché si 

 prenda per unità degli angoli rettilinei l'angolo cen- 

 trale che, nel circolo del raggio => 1, corrisponde 

 all'arco = 1, e per unità degli angoU solidi l'angolo 

 solido centrale che, nella sfera del raggio = 1, cor- 

 risponde ad una superficie sferica equivalente al qua- 

 drato che ha per lato l'unità lineare = 1. 



Ciò posto, sia Q. la superficie del poligono sfe- 

 rico che suppongo di n lati e convesso; sia A la som- 

 ma de'suoi angoli interni, e C la somma de'suoi an- 

 goli esterni , ossia la somma delle declinazioni de' 

 suoi lati (somma che non bisogna confondere con 

 la curvatura del perimetro , perchè i lati essendo 

 archi hanno anch'essi la loro curvatura). Si ha dalla 

 geometria 



