Alcuni teoremi del Gauss 273 



In ^- aX = a, A, = a, A, -^ . . . ^. a'A'. (Fig. I) (*) 



L'estremità di questi quadranti formeraano una nuo- 

 va curva sferica AA,A, . . . A', e i raggi OA, OAt, 

 OA2 , . . . OA' saranno paralleli ai raggi osculatori 

 consecutivi della curva ocx , e costituiscono la su- 

 perficie conica, di cui la curvatura totale si è chia- 

 mata C. 



Inoltre ciascun angolo di contingenza Aa,A, , 

 A,«2>\, , . . . formato da due quadranti consecuti- 

 vi qualunque «A, a, A, , . . . e corrispondente acl 

 un angolo di contingenza de' piani osculatori della 

 curva Cix\ è rappresentato (trascurando gl'infinite- 

 simi di second'ordine) dalla superficie compresa fra 

 i detti due quadranti. Dunque la somma e di tutti 

 cotesti angoli di contingenza, die hanno luogo da a 

 in a' , è uguale alla superficie sferica S compresa 

 nelquadrilatero («A, AA', A'a' , aa), talché si ha 

 S = e. Ma S , pel teor. prec. , è pure = 2t: meno 

 la curvatura della superficie dell'angolo solido che 

 corrisponde a siffatto quadrilatero. Ora, se giriamo 

 il quadrilatero nel senso aAA'aa, costruita od im- 

 maginata la figura, si vedrà che la declinazione del- 

 la superficie dell'angolo solido in OA è = A, da OA 

 andando in OA' la curvatura è C, in OA la decli- 

 nazione è t: — A', da OA in Oa' la declinazione è 

 zero, in Oa' è — tt , da Oa' in Oa le declinazioni di- 

 ventano negative, e la loro somma è = — e. Cosi 

 la curvatura totale della superficie dell'angolo soli- 

 do OaA A'a'a è == 27i h- A — A -h C — e. Dunque la 



(*) Convien supplire coli' immaginazione alle linee che mancan» 

 nella figura. 



G.A.T.CXV. ^^,uv-,..:. 



