Alcuni teoremi del Gauss 270 



II. Teorema. Se una superfìcie S, supposta fles-" 

 sibile ma inestendibile, cangia di forma, in questo 

 cangiamento una figura qualunque a delineata sulla 

 superficie serberà costante^ insieme con la grandez- 

 za, la sua curvatura totale &). 



Dimostrazione. Poiché la superfìcie flessibile S, 

 che cambia di forma, si suppone inestendibile, ogni 

 linea segnata sulla medesima serba costante la pro- 

 pria lunghezza, e però resterà geodesica se dappri- 

 ma era geodesica. Divisa quindi la superfìcie S in 

 triangoli infinitesimi, si vede chiaramente che essa 

 nel cambiare di forma non varia di grandezza, e che 

 ogni angolo segnato sulla medesima si mantiene co- 

 stante. Ma la curvatura di un triangolo «/Sy , for- 

 mato sulla superficie S da tre linee geodesiche, non 

 varia che colla somma de'suoi angoli : dunque sif- 

 fatta curvatura si mantiene anch'essa invariabile. Ciò 

 posto , se la superficie si suppone divìsa in trian- 

 goli infinitesimi, formati da linee geodesiche, si con- 

 chiuderà che la curvatura di una porzione qualun- 

 que della superficie S non varia in mezzo ai suoi 

 cangiamenti di forma- 



III. Teorèma. Se intorno ad un punto dato M 

 di una superficie S si prende un elemento qualun- 

 que superficiale rfcr, il rapporto di esso alla sua cur- 

 vatura totale d'j) è uguale al prodotto de'raggi di cur- 

 vatura principali p, p, , relativi al punto M : cioè 



da 

 Dimostrazione, Cominciamo dal ricordare che 



