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sia medio proporzionale tra i raggi di cul'vaturà 

 principali p, pi • 



Applicala questa sfera nel punto M in contatto 

 con la superfìcie S, l'elemento dcr della superficie si 

 potrà riguardare come appartenente a tale sfera, la 

 quale perciò si potrebbe chiamare sfera di curva- 

 tura (1), siccome quella che ha, rispetto alle super- 

 ficie, ristesso ulficio che il circolo di curvatura ha 

 rispetto alle linee. Nondimeno giova notare una dif- 

 ferenza essenziale tra il circolo di curvatura e la 

 sfera di curvatura: ed è, che il primo è sempre oscu- 

 latore^ ossia ha sempre due elementi in comune col- 

 la linea curva nel punto di contatto-, mentre la se- 

 conda non è osculatrice nel punto di contatto (ec- 

 cetto in quei punti che si dicono ombelicali), vale 

 a dire, non ha due elementi in comune con tutte le 

 curve della superficie che passano per il punto di 

 contatto. 



Teoremi del sig. Gauss inforno alle linee geodesicke. 



1. Teorema. Se in una data superfìcie curva 

 partano da un medesimo punto un'infinità di linee 

 geodesiche tutte di egual lunghezza, la linea che 

 unisce i loro estremi le segherà ciascuna ad an- 

 golo retto. 



(1) Il chiarissimo professore sig. Carlo Sereni aveVa trattalo 

 di questa sfera e della sua proprietà di dar la misura della curva- 

 tura delle superfìcie sin dall' anno 1826 nella sua Geoueibia de- 

 scrittiva, stampata in Roma in tal anno, e però un anno prima 

 che fosse pubblicata la dissertazione del sig. Gauss intorno alle su- 

 perficie. ( Si veda la Raccolta scientifica di Roma, tom. 1 , pag 

 353, an. 18iS. ) 



