Alcuni teoremi del Gauss 283 



Dimostrazione del sig. Gauss, Siano AB , AB' 

 due linee geodesiche di egual lunghezza, includenti 

 in A un angolo infinitesimo, e supponiamo che l'u- 

 no degli angoli ABB', AB B che l'elemento BB' for- 

 ma con le linee BA, B A, differisca di una quantità 

 finita dall'angolo retto, onde, per la legge di con- 

 tinuità, l'uno sarà minore e 1' altro maggiore deU 

 r angolo retto. Supponiamo V angolo in B esser 

 = 90° — 5, e prendiamo sulla linea BA il punto C 



in modo che sia CB = — - . Essendo lecito di trat- 



satìQ 



lare il triangolo infinitesimo BBC come se fosse pia- 

 no, si avrà 



CB' = 1/ (CB^ H- BB'- — ^CB.BB'.seiiS). 



Donde, sostituendo BB =■ CB sen5, si ricava 



. CB'.H^ CBcosC. 



r, .lUb OrXJBiC . 



Dunque j 



CB' < CB , 



e per conseguenza 



AC -+- CB' < AC 4- CB = AB =- AB : 



cioè il passaggio da A in B' pel punto C è più cor- 

 to della linea più corta possibile AB'. 



II. Teorema. Data in una superficie curva una 

 linea qualsivoglia, se da'singoli punti di questa par- 

 tano sotto angoli retti e dal medesimo Iato un'in- 

 finità di linee geodesiche tutte di egual lunghezza, 

 la linea che unisce i loro estremi le segherà ciascu- 

 na ad angolo retto. 



