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Dimostrazione. Siano AB, AB' due linee geode- 

 siche dì egual lunghezza , infinitamente vicine , ed 

 uscenti da A, A' sotto angoli retti rispetto alla li- 

 nea AA', e dirette dal medesimo lato. Supponiamo 

 (che ciò è lecito) l'arco infinitesimo A A' composto 

 di due elementi rettilinei ed eguali AM. MA', deter- 

 minanti in M il piano osculatore della linea AA', e 

 conduciamo in questo piano per A e per A' due 

 normali agli elementi AM, MA' le quali s'incontri- 

 no in 0. La linea ( OA -+- AB ) si potrà considerare 

 come una sola linea geodesica rispetto alla super- 

 ficie composta del piano osculatore OAMA' e della 

 superficie data : giacché essendo in A le direzioni 

 delle linee OA , e AB entrambe perpendicolari ad 

 AM, si deve conchiudere che in A il piano oscula- 

 tore della linea OAB è normale alla superficie data: 

 così la linea OAB soddisfa in tutta la sua lunghezza 

 alla condizione della linea geodesica. Lo stesso di- 

 casi dell'altra linea OA'B'. Siamo dunque ricondotti 

 al caso precedente di due linee geodesiche di egual 

 lunghezza, uscenti da un medesimo punto sotto un 

 angolo infinitesimo. 



Il sig. Gauss avverte che, se consideriamo un 

 punto come un circoletto infinitesimo, questo teore- 

 ma include il precedente. 



(Sarà continuato.) 



