Alcuni teoremi del Gauss 43 



partiti , sono simmetriche rispetto ai tre sistemi di 

 quantità: 



(a , a , « , A) , {b, b', /3, B) , (e, e', 7, C) , 



vale a dire : si conservano le medesime se si al- 

 ternano le quantità di un sistema colle analoghe 

 quantità di uno qualunque degli altri due; e con- 

 chiudiamo, che ogni nuova equazione scaturita da 

 quelle tre , deve continuare a sussistere dopoché 

 avremo eflFettuato in essa l'indicata alternazione. 



Per questo principio la prima delle tre equa-^ 

 zioni che seguono, genera le altre due .' 



AD = aA'- H- a(/tR -^ mQ) H- a'(»»R — nP) , 

 BD = /3A" -+■ ó(nR — mQ) -f- ó'{mR — nP) , 

 CD c= -yA^ -1- c(«R — mQ) -j- c'(mR — wP) , 



Moltiplicando quest'equazioni per «", /3", y", e som- 

 mandole, si ottiene 



DD" -= («a"4-/3"-f-77'0A^-+-m"(nR-mQ)-Hn"(wR— nP) , 



la quale, ove alle lettere «, /3, 7, D, m, n si appon- 

 ga il solo accento', produce 



D'D'=(« a'+/3'/3'-+-7y) A^-f m'(n'R— m'Q)-4-n'(m'R — n'P) . 

 Punque sottraendo 



DD"— D'D' == (««" 4- /5/3" -t- 77" — oc" — /3'' — 7'=')A' 

 '+-P(n'» — nn")-hQ(m'2— mm")-t-R(Mw"-Hn'n— 2mVj, 

 Ora dall'equazioni 



