Alcuni teoremi del Gauss 45 



Quando la superficie (V), supposta flessibile ma ine- 

 stendibile cangia di forma, è palese che l'elemento 

 lineare 



ds == (Pdp^ -h Qdq^ -t- 2Ràpdq)^ , 



non varia, né però le quantità P, Q, R; e cosi ri- 

 troviamo per via analitica il teorema già dimostrato 

 per via geometrica. Ed è in questa maniera che il 

 sig. Gauss lo ha dimostrato. 



Quando i due sistemi di linee s, , s^, si segano 

 dapertutto ad angolo retto sopra la superficie (V) , 

 nel modo che fanno le linee principali di curvatu- 

 ra; allora R =^ , e la formula precedente diviene 



PQ«= f((t,) ^d-p-d7hQ ((d7 ) -*-d7-d7r(dr^ dp) 



Se inoltre si fa P =» Q (il che secondo le con- 

 siderazioni del sig. Liouville è sempre permesso ) , 

 cotesta formula fornisce 



2PK = J-^^V- 1^^ 1/4£V_ 1 i-L . > 



Pnd/>/ P"dp' PAdq/ P* d^^ 

 __/ d%g.P dMog.P \ 



La dimostrazione di questa formula particolare è 

 l'oggetto precipuo della memoria del sig. Liouville 

 intitolata: Sur un téorème de M. Gauss concernant 

 le produit des deux rayons de courbure prineipaux en 

 chaque point d'une surface. 



Supponiamo adesso che le linee Si del primo si- 



