Alcuni teoremi del Gauss IT 



posizione di questo raggio come luogo di partenza 

 o linea delle ascisse^ ogni punto M sulla superficie 

 (V) determinerà la lunghezza p del raggio geode- 

 sico corrispondente, e l'angolo onde questo raggio 

 declina nel suo punto iniziale dalla linea delle ascis- 

 se. La lunghezza p di questo raggio e l'angolo no- 

 minato (ovvero una funzione cognita q di quest'an- 

 golo ) si possono chiamare coordinate polari del pun- 

 to M. In questo nuovo sistema di coordinate, l'ele- 

 mento ds si trova espresso evidentemente come nel 

 sistema precedente. 



In questi due sistemi di coordinate si sempli- 

 fica oltremodo la formula che dà la misura K di 

 curvatura. Risulta 



d« 1 /dQy 1 à'Q 1 tF.i/Q 



Vdp/ 20 



da 4Q^\dp/ 20 d/)' i/^Q dp'- 



Prendiamo 



d(7 — dpdqy'^Q ; 



allora la formula a ^^ Kda che determina la cur- 

 vatura, diviene 



Se p e q designano sulla superficie (V) le coor- 

 dinate polari di un punto M (essendo p il raggio 

 vettore geodesico e q V angolo che tale raggio fa 

 nell'origine colla linea delle ascisse), allora per p = 0, 

 sarà ds=* dp , e però Q = 0; e per un valore in- 

 finitesimo di /), r elemento ds^ della linea del se- 

 G.A.T.CXVI. 2 



