Alcuni teoremi del Gauss 19 



ijhezza s essendo espressa per l'integrale ,i \ 



s --. y^i^dp' -h Qdq' H- 2R Jr/d^) , 



la condizione del minimo richiede che la variazione 

 dì quest'integrale, nata da un cangiamento infìnite- 

 5Ìmo di un tratto della linea s, sia = 0. Il calcolo 

 si rende più semplice, se una j) delle due quantità 

 p, 5, si considera come funzione dell'altra. Indicando 

 la variazione per la caratteristica 5, avremo 



( — do^'-t— - d(7"H-« —^ — (IpdyW ■+■ 2(Pd/j -f- Rdtf)d$p 



/ap ap ap ' 

 21; 



dP, , dO, , dR, , 



— dy~-4 dfl -+-2 — d»d(/ 



Pd/j-hRdfl - f^ l^V ^9 '^P Pd/j-hRdtf\ 



e sappiamo che ciò, che qui sta sotto il segno inte- 

 grale, deve svanire indipendentemente da ^"p. Viene 

 pertanto 



dP j , dQ . , dR . , . . Pd;^ -f- Rd« 



— dp~-h -Ji do' -+- 2 — dpdtf =.^ 2ds.d. -^~- — 



dp dp ' dp '^ ^ ds 



cos9 dsdP 

 = 2d5.d.l/^P cos9 = 2 seoS d5 d*./"? 



Pdp-hRdfl .^ 

 « —^ ^ dP - 2|/^(PQ— R^)dyd5 



-^ (dp -+- \ dr/)(-j? dp-H ^ dy)- 2l/-(PQ-R^)d?d9 . 



Da qui si ricava la seguente equazion condizionale 

 per la linea geodesica : 



