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In tutte queste espressioni le quantità A^ 6 soiio sem^ 

 pre determinate dall'equazioni 



m = sene , A'= |i/^(1 — k'^ sen^Q). 



5° I differenti integrali di sopra riportati trovane^ 

 utili applicazioni nella riduzione di qualche integrale de- 

 finito duplicato ad integrali definiti semplici. Sia per 

 brevità 



u = cosp , V = senpcosy , w =s senpsen*/ 

 e consideriamo l'integrale definito duplicato 



S = 8 y J senpàpé^(b^c^u'' -h aVv^ -{• aH^w^} 



il quale come è noto rappresenta la quadratura dì un 

 ellissoide a semiassi ineguali a, 3, e. Per integrare rela- 

 tivamente alla variabile p pongasi per brevità 



A = aVcos''^ -+• a^'bhen^q , B s= i^^c^ — (a^c^cosq '^a'b'^sen'q)' 



e si faccia ,_ 



Si =J ^ seapdp[/'{h. -+- Bcos^p) 



si avrà per l'integrale definito duplicato 



S =» Sf^ Siàq 

 Ciò posto dall' integrazione indefinita per cosp = a? 



