Integrali definiti 183 



e perciò U^n si trasforma in 



r»^sen'"'<».arctang(mA), 



Nelle applicazioni questo passaggio indica un cangia- 

 mento di grandezza nei valori dei parametri : per ciò 

 non avrebbe luogo il coefficiente j/" — 1, e verrebbe a 

 scomparire da se medesimo, il problema adunque si ri- 

 duce alla considerazione degli integrali 



=/ 



'^sen^''ffl.arctang(7»A) 

 d? 



Pern = 0, e per potenze impari, e superiori alla prima 

 di A, questi integrali sono stati già esaminati dal sig. 

 W. Roberts nel giornale del sig. Liouville per 1' anno 

 1 846, il quale di piii ha fatto conoscere la dipendenza 

 di essi con altri integrali dati da Legendre. Venendo 

 adunque ai proposti si avrà dalla differeuziazione rela- 

 tiva ad m 



d.Va„ _ r«"sen"'9dy f^^ sen'V? 



r* s en'"ydy _ r 



dm *^ » l-f-m'A'' J « (1-t-m^ — m**^sen^9) 



ove per l'integrazione converrà eseguire la divisione dei 

 termini nel coefficiente di d^. Facciamo primieramente 



1 tii^k^ 



m=tang$, ed, m»H- 1 = — ~ , -^ = k'sea^O 



^ cos'0 ' in^'-v-l 



si troverà facilmente 



sen*''9 cos'US /fc-''sen="'0sen^''<j) ^ 



H-w'— w'^^sen^'y"^ F"sen""9 \t— ft'sea^esen'^/ 

 quindi osservando che 



l-— Z 1 — 2 



