Teorica dei numeri 29 



ora come soluzioni generali (*) della (A; J , ed in 

 vece questa proprietà deve solo riconoscersi nelle (/cs). 

 In quanto al numero delle soluzioni diver- 

 se e positive appartenenti alla proposta , è facile 

 dimostrare , che questo non potrà essere maggiore 

 di v', essendo v il numero degli spezzamenti di z 

 ciascuno in due quadrati. Ed in fatti moltiplicando 

 fra loro due a due in og«i modo questi medesimi 

 spezzamenti, ed inoltre facendone di ciascuno il qua- 

 drato, si ottiene sempre il secondo membro ^" della 

 proposta. Però si hanno mediante le (2) nel primo 

 caso per ogni moltiplicazione due spezzamenti di z^ 

 in due quadrati ognuno; e perciò due soluzioni po- 

 sitive della proposta; mentre nel secondo per ogni 

 quadrato sì ha uno solo degli spezzamenti medesimi, 

 quindi una delle soluzioni stesse. Ora è chiaro che il 

 numero complessivo di tutti gli spezzamenti di z^ sarà 

 eguale a quello delle permutazioni binarie di v cose, 

 comprese le repliche delle medesime; numero che sap- 

 piamo (**) essere v^. Quante volte adunque si vogliano 

 escludere le soluzioni ripetute che potranno incontrar- 

 si nello spezzare z" in tante somme, ognuna di due 

 quadrati, concluderemo che il numero delle solu- 

 zioni diverse e positive non potrà superare v"*, come 

 fu asserito. E riguardando al doppio segno , dal 

 quale può essere affetto qualunque valore numerico 



(*) Comptes rendiis de l'academie des scìences de Paris, toni. 28, 

 p. 686, 733. 



('*) Lotteri, Lezioni d introduzione al calcolo sublime. Voi. I, 

 pag. 20 §. 24. Pavia 1821. 



