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Queste funzioni dieonsi complete estese fra i limiti 

 y = 0, ^ = i. 77, ed allora si sogliono indicare sem- 

 plicememente per i simboli F(A;), E(^), n(?i, k). Ciò 

 posto, se il parametro n sia espresso per — 1-+-A:'5sen'5, 

 e sì faccia inoltre 



<^ (9) = Y{k) ^k\ 9) — F(/c', 0) E(A) — F(^) Y{k\ Q] 



si avrà per una formola da Legendre per la ridu- 

 zione delle funzioni ellittiche complete di terza spe- 

 cie (*) 



k^ sen5 cosO 'n 



-^,.;^[nw)-FW]=-_0(5) 



Nel nostro caso abbiamo 



k^ = vr ì sen$=' — r- , cos9 = — 7rr • 



/3^ al/ ;'5^ — 1 «l/iS* — 1 



quindi 



e perciò il quadrante 5 dell'ellissi sferica sarà espres- 

 so da 



(*) Fonctions elliptìques, tom. 1, pag. 138. 



