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cerche lU Eulero , Lagrange, Legendre. Infatti ha 



Pdx 

 dimostrato Legendre , che se si abbia la formola - - 



R 



dove P sia una funzione razionale della x, e la quan- 

 tità Pi---l/'«x'i+/?x3+7X^+^x+s 



Si possono sempre trovare due numeri p, q unita- 

 mente ad una variabile y da verificare la formola 



p+qy 1 1 . . 11 ^^^ , .-, 



x= — , la quale sostituita nella — -la riducono 



1+y R 



■pi j 



ad un altra -— - , dove K =V ay'>+ ^'y'^+y'y^ ^J^'y+e 



I nnmeri però p, q devono determinarsi ponendo 

 /5'=o, /=o , e P' essendo una funzione razionale del- 

 la y. Ora nel caso , che F contenga le sole poten- 

 ze impari della y; ponendo y^=z verrà la formola (23) 



. „ Pdx 

 ad essere un caso particolare della -— - 



R 



6.° Ma andiamo ad eseminare l'integrale del secon- 

 do inembro della medesima (23j, e si consideri il dif- 

 ferenziale della quantità z""^ R, cioè 

 (2/() d.z""" R-=(n-2)Rz"-Mz+z"-^dR 

 e siccome dall' ultima delle (22) si ricava 



(2«z+/?)dz 

 (25) dR=ir^ - '' — 

 ^ ^ 2K azH/5z+7 



quindi per la sostituzione la (24) si trasforma in 



„=2«(n-1)z"-'dz+)?(2n-3)z""Mz+2, (n-2)z''-^dz 

 (2G) d.z^-R ^—^ 2^ ■ 



ed integrando termine per termine otteniamo 



s /Z'"'dz M2n-3) z""^dz „, z"--d2 



(27) z"-R=a(n-iy-^+— _;/ ^^_-h,(n-2)y-^~- 



dalla quale si ha immediatamente 



z"-dz_2"-*R )S(2n-3) . z''-Mz_7(n-2) . z'-^dz 



^ -'"R '^)'~Ma^ì)''' R 7(n-1) '~R"~ 



