5) Beziehung der Heine'schen Reihe zu der geometrischen 

 Eeihe 2. 0. 



Die Heine'sche Reihe*) besitzt die Form 



(l-q-')(l-qO (l_q")(l_q"+l)(l_/)(l_/+l) 



^(l_q)(l_q/) -^ (l_q) (l_q^) (l_q/) (i .^,+1) ^^ + ^^'^ 

 (l_q") (l-q°+l) (l-q"+2) (i_/) (t_/+l) (i_/+2) 



(l_q) (l_q^) (l_q^) (l_q>') (l-q/+l) (l-q>'+2) " "^ ' " 



und wird kurz durch 



bezeichnet. Dieselbe lässt sich für q -< 1 überfiihren in 

 eine geometrische Reihe 2. 0. Setzt man nämlich a = — g, 

 ß = ly y = Sy q = X? ^1 "= — T^^'^^, so geht sie für g = co 

 über in die Reihe: 



l+yX+y2x3+y3x6+y4;xl0+y5xl5+y6x21^ . . . .^ (14) 



welche dem Ausdrucke 



entspricht. 



Die geometrische Reihe 2. 0. lässt sich sonach als eine 

 Specialform der Heine'schen Reihe betrachten. 



Setzt man für « den Wert — g=i=>'-, wo l eine ganze 

 reelle Zahl ist, so erhält man 



9(— gdzA;!, g,X,— }TL^"^0 



. , 1±^. . 2 34-2;i , 3 6+3Z , 4 10-I-4A , 



= 1+yx +y X - +y X - +y x - + . . . 

 Dieselbe Reihe erhält man bei Entwicklung der Funktion 



• ^(— g, 1, g,x, — yx^-'+^). 



(g=c>o) 



Daraus folgt: 

 <p{-S±l, 1, g, X, -yx^+l)-rK-g,l,g,x,-j^o-±^'+l) (15) 



(g=00) (g_00) 



Vergl. Crelle'8 Journal Bd. 32 und 34. 



