» L. LÏAU 



lettre, accentuée pour S', deux points corrc^spondants sur les 

 surfaces, par la même petite lettre, acc(Mitu(''e pour P', les projections 

 de ces deux points sur les plans langenls. 



Ayant fait choix d'un infiniment petit principal quelconque t cl 

 prenant deux poinis u et v dont les distances à M et la propre 

 distance soient d'ordre inlinitésimal éi^al à un, nous allons évaluer 

 l'ordre des différences u v-u' v', Mu-Mu', M v-M' v' des côtés 

 des triangles rectilignes u M v, u M' v', et l'ordre de la différence 

 de leurs angles en M et M', 



Cotés. — Si l'on admettait la notion du ds- commun des deux 



surfaces 



ds'- = E d a- 4- 2 F d a d ,S + G d p'- 



le résultat serait immédiat ; car d'une ])art les distances u U, v V, 



sont du second ordre (au moins) et par suite les différences M U- 



Mu, M V-M V, U V-uv du troisième, d'autre part les termes du 



second et du troisième degré de UV" sont, les deux points étant 



obtenus pour les valeurs a, [3 ; a -|- h, ^+ k des paramètres, 



I oE /')F I oE\ 



Eh^+2Fhk + Glv^+ — h'+l h — -V- I l''k 



•2 a V '^' ^- 2 ô p / 



G d F\ , , I d G , 



h k- H -— k =^ 



(j_^ d G d F\ 



2 ap 



Ainsi les différences de U V, U V enire eux et respectivem<Mil 

 avec u vet u' v', donc aussi u v-u v' sont au moins du troisième 

 ordre^ el ce résultat s'appliqueévidemmentàM u-M'u', Mv-M' v'. 



Si l'on ne veut pas faire appel à la notion du ds- commun 

 on atteindra le même résultat par une analyse un peu plus 

 détaillée. 



Les distances Mu cl M v étant supposées d'ordre infinitésimal 

 au moins égal à i, considérons le plan perpendiculaire à P 

 suivant u v ; il donne dans S un arc de section L allant de U à V : 

 je dis que cet arc, la corde U V et u v difTèrent entre eux d'infiniment 

 petits du troisième ordre au moins. En rapportant la surface à 

 son plan tangent en M un calcul simple montre que l'angle avec 

 P d'une tangente quelconque à S en un point N infiniment voisin 

 de M est au moins de l'ordre de M n ; on peut, d'une manière 

 précise, trouver une quantité fixe À telle que cet angle soit inférieur 



