et 



par L.. LEAU 



La détermination des points d'inflexion de la transformée par 

 développement d'une ligne tracée sur une surface développable 

 résulte de l'invariance de la courbure géodésique dans une telle 

 déformation. Voilà, semble-t-il, de quoi donner un certain 

 intérêt à une démonstration élémentaire de ce théorème ; il s'étend, 

 comme on le sait, à deux surfaces applicables quelconques 

 et je me propose de l'établirdans toute sa généralité par des con- 

 sidérations tirées des infinimenls petits des différents ordres. 



Rappelons d'abord une définition : on appelle courbure 

 géodésique, en un point, d'une ligne tracée sur une surface, le 

 produit de sa courbure en ce point par le sinus de l'angle que 

 forment le plan osculateur à la courbe et le plan normal à la 

 surface suivent la même tangente ; l'inverse de ce produit est le 

 rayon de courbure géodésique. 



Théorème 



Si, sur deux surfaces applicables l'une sur Vautre, on trace 

 deux lignes correspondantes, leurs rayons de courbure géodésique 

 en deux points homologues sont égaux. 



Pour démontrer ce théorème, qui fait l'objet de la présente 

 note, je m'appuierai sur le lemme que voici : 



Etant donnés une surface S et, en un de ses points ordinaires M, 

 le plan tangent P, le rayon de courbure géodésique, en ce point, 

 d'une courbe G qui y passe et qui est située sur la surface est 

 égal au rayon de courbure au même point de sa projection c sur 

 le plan tangent. 



Ce fait est une conséquence immédiate du théorème de 

 Meusnier appliqué au cylindre projetant orthogonalement la 

 courbe considérée. 11 est d'ailleurs aisé de l'établir directement. 



Soient : M T la tangente à G en M, N un. point de G voisin 

 de M, n sa projection sur P, N H et n H les perpendiculaires 

 menées de N et de n sur la tangente, enfin Q le plan N M T. 



Le rayon de courbure de c en M est, pour N tendant vers M, 



