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UNE PROPRIÉTÉ DES PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENCE ; 

 Par C.-A. LAISANT. 



On connaît cette propriété de la progression 



1 . 3 . b . 7 



dont les termes sont les nombres impairs consécutifs : 



Si on forme dans cette suite des groupes consécutifs de 1, 2, 3,.... 

 termes : 



1 . 3.0 . 7.9.11 . 13.15.17.19, 



les sommes des termes de chaque groupe 



1, 8, 27, 64, 



sont les cubes successifs des nombres entiers. 



11 s'ensuit que la somme des termes du groupe du rang ^9, qui 

 contient p termes, est égale à p^ ; on peut encore énoncer ce résul- 

 tat en disant que la valeur moyenne des termes de chaque groupe 

 est le carré du nombre de ses termes. 



En cherchant à généraliser cette propriété, je me suis posé la ques- 

 tion suivante. Considérons une progression par différence 



(P) a . a^r . a- 



Formons dans cette suite, à partir du début, des groupes succes- 

 sifs dont les nombres de termes soient indiqués par les nombres 

 ci-dessous qui forment une progression par différence à termes 

 entiers. 



(Il) a . a-f-p . a + 2p, 



et proposons-nous de trouver la somme des termes du groupe de 

 rang p, contenant un nombre N de termes fourni par la formule : 



N = a -]- (/) — l)p. 



