PROPRIÉTÉS DES PROGRESSIONS PAR DIFFERENCE 71 



Un calcul fort simple donne pour l'expression de cette somme : 



S = N [a + ^ (a - 1) + ^ (N2 - a2)'J . 

 et par conséquent la valeur moyenne des termes de ce groupe est : 



« + 5 («-l)+^(N?-a2). 



Dans le cas particulier indiqué au début, on a a = a = p =r 1 , 

 et r r= 2 ; on retrouve N- pour valeur moyenne. 



Pour toutes les progressions (II) commençant par 1, l'expression 

 se réduit à 



Si, en même temps, - = 2 p, on obtient «N^. 



a. 



T 



Lorsque « ^ a = 1, la valeur moyenne est — (N- — 1) -f- 1 ! 6t si 



en outre le rapport - est égal à 2, on retrouve la proposition du 



P 

 début, sans y rien changer. 



Par exemple, la progression 



1 . 7 . 13 . 19 



de raison 6, en formant des groupes des 1, 4, 7,... termes, donne : 



1 . 7.13.19.25, 



et les valeurs moyennes sont : 



1, 16, 49, 



c'est-à-dire que les sommes sont : 



1-3 43 73 



Si les raisons des deux progressions (P) et (11) sont égales et 



qu'elles commencent par 1 l'une et l'autre, la valeur moyenne est 



N2 + 1 . . 



— 3 ainsi qu'on peut le vérifier sur les groupes suivants : 



1 . 2.3 . 4.5.6 . 7.8.9.10 . 11.12.13.14.15 



