166 JOSEPH bESCHAMPS 



Au lieu de transformer en déterminant le second membre de 

 l'identité (26;, on aurait pu effectuer les multiplications indiquées ; 

 on aurait ainsi obtenu l'identité dc'oeloppe'e : 



(26': 



S21 S22 



-\- 2 F iz^Xr — x^z^) [x^y^ — y^x^) 

 + 2 G (./-(//o — ytx^) (y^z-y — z,;/,) 

 + 2 H (y,S2 — 3,,V2) (z<^2 — '^"122)- 



Cas particulier. — Supposons que la fonction S soit de la forme 

 simple : 



le déterminant 



devient : 



S=.c2+2/2+,2; 



S,, s. 



S-n S22 



^21 "^22 



xi- + yr + -I- x\-'C2 + ^<y2 + -1=2 I 



■-ci^ + yr + s, 2) (.ra^ + .va^ + s/) — ^.c,,!-^ + y^y^ + ^,32)2 



L'application de la formule (26) donne alors l'identité : 



(30) [xi^ + yi' + s,2j (^2- + y2- + =2') - (^1^2 + 2/1^2 -^ 



(2/1 



:,y2)- + i^i'^a — ^«--i)" + '-^1^2 — 2/1^2)^ 



connue sous le nom d'identité de Lagrange et d'un usage constant en 

 Mécanique. 



h" Déterminants mineurs non sgniétriques (tu déterminant fonc- 

 tionnel. — L'un d'eux est : 



^{\ '^12 . 



'"^Sl S32 I 



En y remplaçant les éléments par leurs développements et diri- 

 geant les calculs comme il vient d'être fait pour les déterminants 

 mineurs symétriques, on arrive à l'identité : 



(31) 



S() S<2 



S,, s,. 



A H G a?| .r., 



H B F 2/^ y^ 



G F G z, Z2 



Xi 2/< 2< 



'^3 2/3 23 



A H (; r, .7^3 



H B F y, yg 



G F C Z| Z3 



Xi 2/1 =1 



^2 .*/2 22 



