10 JOSEPH DESCHAMPS 



Projetons pour cela le conlour des coordonnées du point successi- 

 vement sur OX, OY, OZ et OM, nous aurons, en désignant par a, 

 p, Y les angles respectifs de la droite OM avec les axes, les relations 

 suivantes : 



X -\- y cos V -p z cos [JL — p cos a = 

 , .V cos V -\- y -[- z cos X — p cos [î := 

 ) X cos [j. -I- y cos X -L 2 — p cos y = 

 l X cos ot. -y- y cos [i -^ z cos y — p = 0. 



Multiplions les trois premières respectivement para;, y, c^, et ajou- 

 tons-les en tenant compte de la quatrième ; nous trouvons ainsi : 



(2) p"^ = x^ + 2/2 _j_ ^2 -\- 2yz cos X -j- 2zx cos ^ ^ 2xy cos v, 



formule qui résout la question proposée. 



La distance cherchée p est donc intimement liée à la forme qua- 

 dratique à trois variables 



a;2 _|_ 2^2 _|_ -2 _j_ 2yz cos X + 2zx COS [J. -f 2xy cos V, 



que nous désignerons parR {.v.y, c) ou simplement par R, et qu'il 

 est naturel d'appeler la forme sphérique, puisque l'équation (2) est 

 au fond de l'équation de la sphère décentre et de rayon p. 



Or à la fonction R se rattache immédiatement et nécessairement 

 son discriminant : 



(3) T = 



dont la valeur développée est: 



T = t + 2 cos X cos [J. cos V — cos- X — cos- ia — cos^ v, 



Ce déterminant dont les éléments sont exclusivement formés par 

 les cosinus des angles des axes deux à deux, a été appelé le sinus 

 (lu trièdre des axes. La raison de cette dénomination est que le dé- 

 terminant T, toujours différent de zéro, est constamment positif et 

 non supérieur à 1, ainsi que cela a été démontré depuis longtemps. 



