16 JOSEPH DESCHAMPS 



La fonction R est liée à la distance OM r= p du point M à l'origine 

 par la relation : 



Quant à la fonction F, elle a une valeur constante, ainsi que l'ex- 

 prime la relation : 



:ii: 



r = T 



établie plus haut. 



Si maintenant nous considérons des systèmes formés par plu- 

 sieurs directions ou par plusieurs points, tous les éléments géomé- 

 triques se rattachant à ces systèmes pourront s'exprimer, comme 

 nous allons le montrer, à l'aide de ces deux fonctions R et F. 



Considérons en effet trois directions différentes (cos a^ cosji^ cos yi), 

 (cos ao cos ^2 cos y^)^ (^^^ "^3 ^^^ Pa •^os Yg), auxquelles correspondent, 

 avec nos notations, les trois fonctions F,,, F22, 

 trois conditions : 



satisfaisant aux 



(17) 



F22=T 

 r33= T 



Formons le déterminant fonctionnel 



(lin 



In r<2 1^3 

 F2) r22 r23 



1 Ç[| 1 qo 1 



31 >- 32 



33 



toutes les propriétés du système de deux ou trois directions seront 

 exprimables par ce déterminant ou par les mineurs de divers ordres 

 et de diverses natures de ce déterminant. 



Considérons de même trois points différents 



(«^3.^3- 



Le déterminant fonctionnel : 



(^.y( 



F22/2 



ïg), auxquels correspondent les trois fonctions R,,, R22, Ras- 



(IV) 



Ru R,2 R|3 

 R2( R22 R23 

 R32 R33 R33 



ainsi que ses mineurs de divers ordres et de diverses natures, expri- 

 meront toutes les propriétés géométriques de ces systèmes. 

 C'est ce que nous allons établir rapidement. 



