NOTE ŞI MEMORII. 



NOTES ET MEMOIRES. 



Sur Ies series de puissances 



par 



D. Pompeiu, 



professeur â 1 ' Universile de Bucarest. 



Seance du 28 Avril 1921. 



1. Soit 



(1) '-p(z)=Sa„z" 



une serie de puissances, convergente dans un cercle de rayon R, 

 ayant 1' origine comme centre. 



Groupons dans le second membre de (1), Ies termes de rang 

 pair en une somme ^o{z) et Ies termes de rang impair en une 

 somme 91(2), de sorte que 



(2) '^{z) cpo(2:) + cp,(z). 



Soient, respectivement, M, Mo et Mi, Ies maximums des modu- 

 \es:m>{z)\,\^o{z)\ et J9i(z)|, lorsque z decrit la circonference 



\z\ = r 

 de rayon r inîerieur â R. 

 ]e dis que 



M > Mo 



(3) M > M,. 



2. Pour etablir ces relations je m'appuierai sur le lemme suivant: 

 Lorsque deux vecteurs OA et OB font entr'eux un angle B 



qui est ^ ~, le vecteur-somme est superieur en module a chacun 

 des vecteurs composants. 



La demonstration de cette proposition est immediate et je ne 

 m'y attarderai pas. 



3. Soit, maintenant, sur la circonference 



\z\ = r 



un point Co ou I cpo(z) | atteint sa valeur maximum Mo- 

 Comme ^q{z) est une îonction paire on aura 



